How the energy loss occurs?

수열을 보면 등차수열과 등비수열이 있다.

등차수열은 일정한 수의 합으로 수열이 나열되고, 등비수열은 일정한 수의 곱으로 수열이 나열된다.

다음식을 보자

a는 첫째항 r은 공비이고, n번째 항의 값은 위 식에 의해 결정된다.

예를 들어 1 3 9 27 .... 이란 수열이 있다면

첫째항 a = 1

공비 r = 3 이다.

위 식에 대입하면 

 이 된다.

3번쨔 항은 9 임으로 n에 3을 대입하면 정확히 9가 나온다.

등비수열의 합을 보자

공식은 

으로 위 수열의 3번째 항까지 합은 1 + 3 + 9 = 13이 된다.

똑같이 위 수식에 대입하면

이고 이걸 풀면 정확히 13이 나온다.

이제 증명해보자.

여기서 위의 이상한 기호는 시그마라고 하며 합의 기호다.

k를 1부터 시작해서 2, 3, 4, 5, 6 ... n까지 대입해서 더한다고 보면 된다.

즉 합의 기호는 풀 수 있는 것이 아니라 단순히 합이라는 상징임으로 머리아파할 필요 없다.

등비수열의 합에서 a가 공통임으로 a을 묶으면

여기서 어떠한 수라도 0제곱은 항상 1이다.

양변에 r을 곱하면

여기서 우변의 괄호안에 +1-1을 추가한다.

1을 더하고 다시 빼면 0임으로 등식은 성립한다. 1의 위치를 바꾸어

여기서 정리하니 오른쪽에 등비수열의 합이 하나더 생겨있다. 1+r1+r2+r3 부분이다.

a를 풀어서 정리하면

죄변은 r로 묶었으며 우변은 등비수열의 합부분을  a와 풀어줬다.

어떤수라도 0제곱은 0임으로 ar^0은 a와 같다. 등비수열합 부분을 이항하면

이제 좌변을 등비수열합으로 묶어준다.

마지막으로 r-1이 이항하면

짠 증명 완료!!!!

참고로 수학 못하시는분은 이항시 위에는 더하기 빼기였는데 마지막에서는 나누기가 되는 이유를 모를 수 있다.

그 이유는 곱해져 있는 수는 이항 시 나눠진다.
부호는 분모와 분자에 같은수를 곱해도 같기 때문에 -1을 분모분자에 곱하면 공식처럼 1-r이 된다.

(왜 공식은 1-r로 했는지는 모르겠다.)

오랜만에 재미있는 짓~!